Jak vybrat část nosníku?

Příklad řešení problému úplný výpočet pevnosti a tuhosti ocelového I-nosníku pro daný systém vnějších ohybových zatížení.

Úkol

Proveďte úplný pevnostní výpočet a zkontrolujte tuhost ocelového, I-nosníku, staticky určitého nosníku na dvou podpěrách

s následujícími údaji:
Intenzita rovnoměrně rozloženého zatížení q=26kN/m, podélný rozměr a=0,6m, koncentrovaná síla F=2qa, ohybový moment m=4qa 2 .
Dovolená normálová napětí [σ]=160MPa,
Modul pružnosti prvního druhu E = 200 GPa.
Přípustné vychýlení paprsku [f]=l/400.

Posloupnost řešení problému
Pro výpočet síly paprsku

1. Diagram zatížení je nakreslen v měřítku s uvedením číselných hodnot použitých zatížení;
2. Jsou sestrojeny diagramy vnitřních silových faktorů Q_y a M_x;
3. Na základě pevnostních podmínek se zvolí I-profil (číslo I-nosníku) ocelového nosníku:
4. U I-paprsku se provádí test plné pevnosti, přičemž
5. Pevnost se posuzuje hlavními napětími v nebezpečných místech průřezu podle III. pevnostní hypotézy
6. Na základě výsledků výpočtu je dán závěr o pevnosti nosníku pro vybraný úsek.
7. Pokud není splněna podmínka pevnosti pro hlavní napětí, zvolí se nové číslo I-nosníku.

Pro výpočet tuhosti nosníku

1. Pomocí univerzálních rovnic metody počátečních parametrů (IMP) jsou úhly natočení θ přes podpory a průhyby v charakteristických řezech (2-3 řezy), jakož i maximální průhyby nosníku v rozpětí a konzolové části odhodlaný;
2. Podle těchto údajů, v souladu s diagramem M_x, sestrojí se linie zakřivené osy nosníku;
3. Kontroluje se splnění podmínky tuhosti nosníku.
4. Pokud podmínka tuhosti není splněna, vybere se nový I-profil, který zajistí požadovanou tuhost.

rozhodnutí

Vypočítejme číselné hodnoty síly F a momentu m, které byly zadány jako proměnné.

Nakreslíme návrhový diagram zatížení nosníku v měřítku s uvedením číselných hodnot použitých zatížení.

Ukážeme osy souřadnicového systému yz a určíme charakteristické řezy nosníku.

Výpočet plné pevnosti ocelového nosníku

Stanovení reakcí v kloubových podporách nosníku

Nasměrujme reakce podpor nahoru a zapišme součty momentů vzhledem k bodům na podporách a zatížení působících na nosník

Ze sestavených rovnic vyjádříme a najdeme reakce.
Z první rovnice

Kladné hodnoty znamenají, že libovolný vzestupný směr reakcí byl správný.

Zkontrolujeme nalezené reakce podpor promítnutím všech sil na osu y

Rovnost součtu průmětů sil k nule ukazuje, že reakce podpor jsou určeny správně.

Podrobněji je zde diskutován příklad stanovení podporových reakcí pro nosník

A také v našem krátkém video tutoriálu:

Konstrukce diagramů vnitřních silových faktorů

Vypočítejme hodnoty vnitřních příčných sil a ohybových momentů v řezech nosníku v každém silovém řezu pomocí řezové metody.

Paprsek má 4 výkonové sekce.

Zde jsou hodnoty Q_y na hranicích oblasti mají stejné znaménko, proto v této oblasti na diagramu M_x nebude žádný extrém.

Na základě získaných dat sestrojíme diagramy vnitřních příčných sil Q_y a ohybové momenty M_x.

Kontrola vytvořených diagramů:
– podle diferenciálních závislostí

– v úsecích nosníku, kde působí soustředěné síly, na diagramu Q_y existují skoky v hodnotách o velikost odpovídající síly;
– v úsecích nosníku, kde se uplatňují ohybové momenty, na diagramu M_x skoky v hodnotách o velikost odpovídajícího momentu.
Všechny podmínky jsou splněny, proto jsou diagramy konstruovány správně.

Diagramy ukazují, že úsek paprsku v bodě C je nebezpečný, kde:
M_x=M_xmax= -24,336 kNm
Q_y= -4,68 kN

Výběr průřezu I-nosníku

Řez I nosníku vybereme podle pevnostních podmínek pro normálová napětí

kde
M_xmax – maximální hodnota vnitřního ohybového momentu v řezech nosníku. Převzato z vytvořeného diagramu M_x;
W_x – osový moment odporu průřezu nosníku vzhledem k vodorovné ose x;
[σ] – přípustná normálová napětí.

Vyjádřeme a vypočtěte minimální požadovanou hodnotu osového momentu odporu průřezu nosníku W_x zajišťující jeho pevnost při běžném namáhání

Podle rozsahu válcované oceli volíme počet I nosníku s axiálním momentem odporu blízkým provedení W_x=152,1 cm 3 ve větším směru.

Toto je I-nosník č. 18a s W_xu159,0d 3 cm XNUMX.

Maximální normálová napětí v řezu

Tento I-nosník bude pracovat při maximálních normálových napětích v extrémních vrstvách nebezpečného úseku nosníku.

Maximální normálová napětí zvoleného čísla I nosníku nepřekračují povolené hodnoty, což znamená, že průřez je zvolen správně.

Plná zkouška pevnosti I-profilu

Při ohýbání tenkostěnných válcovaných profilů, jako je například I-nosník nebo kanál, na spoji stěny a příruby nemají normálová a tangenciální napětí maximální, ale spíše velké hodnoty.

Jejich kombinované působení, vyjádřené ve formě hlavních (ekvivalentních) napětí, může překročit dovolené hodnoty, což bude znamenat ztrátu pevnosti v těchto místech průřezu nosníku.

Z hlediska hlavních napětí je nepříznivý řez nosníku B ten, ve kterém je maximální hodnota příčné síly s významným ohybovým momentem:

Abychom plně otestovali pevnost, sestrojíme diagramy normálových a tečných napětí v řezu B pro vybrané číslo I-nosníku.

Konstrukce diagramů normálových a tečných napětí v řezu nosníku je podrobně diskutována zde:

Pro provedení výpočtů vypíšeme potřebné geometrické charakteristiky vybraného čísla I-paprsku ze sortimentu:
Výška sekce
h=180 mm;
Šířka sekce
b = 100 mm;
tloušťka stěny
d = 5,1 mm;
Tloušťka police
t = 8,3 mm;
Axiální moment setrvačnosti průřezu
I_x= 1430 cm4;
Moment statického řezu
S_xu89,8d 3 cm XNUMX.

I-profil má 5 charakteristických bodů na výšku: horní (1), spodní (5), střední (3) a dva body na přechodu stěny do příruby I nosníku (2 a 4).

Pro konstrukci diagramů určujeme hodnoty napětí v uvedených bodech řezu.

Normálová napětí v průřezu nosníku jsou rozložena podle lineárního zákona, takže pro sestavení diagramu stačí najít maximální hodnoty

Tangenciální napětí v charakteristických bodech řezu se vypočítají pomocí Zhuravského vzorce

kde
Q_y – smyková síla v daném úseku. Přijato z diagramu s přihlédnutím ke znaménku;
I_x – axiální moment setrvačnosti průřezu;
b_y – šířka řezu na úrovni uvažovaného bodu;
S_x* – statický moment části řezu nacházející se mezi úrovní uvažovaného bodu a horním (spodním) okrajem řezu.

Vypočítejme hodnoty tečných napětí

Protože nad bodem 1 a pod bodem 5 je plocha průřezu nulová, pak je statický moment S_x* pro tyto body je tedy také nula

V bodě 3 budou maximální tangenciální napětí, protože pro to statický řezový moment S_x maximální s minimální šířkou řezu d

Je vidět, že pevnost průřezu při tečných napětích je zajištěna.

V místech, kde se stěna nosníku I stýká s pásnicí, dojde k napěťovým rázům, protože na úrovni těchto bodů se šířka průřezu prudce mění

Vypočítejme hodnoty napětí v těchto bodech pro stěnu (c) a přírubu (p)

Statický moment příruby nosníku I

Tangenciální napětí v bodech 2 a 4 pásnice

Tangenciální napětí v bodech 2 a 4 stěny

Pomocí těchto dat sestrojíme diagramy normálových a tečných napětí pro vybraný počet I-nosníků.

Vypočítejme velikost hlavních napětí v bodech spojení mezi pásnicí a stěnou I nosníku (body 2 a 4)

Normálová napětí v uvažovaných bodech

Ekvivalentní napětí v nebezpečných místech řezu

Jak je vidět, velikost ekvivalentních napětí nepřekračuje povolené hodnoty, proto zvolené číslo I nosníku splňuje podmínku pevnosti pro hlavní napětí.

Kompletní výpočet tuhosti nosníků

Aby nosník splnil podmínku tuhosti, lineární posuvy (průhyby) nosníku y_z nesmí překročit stanovené přípustné hodnoty [f], tzn. musí být splněna podmínka tuhosti

Výpočet posuvů průřezů nosníku

Posuny průřezů nosníku vypočítáme metodou počátečních parametrů (INP).

Šablony rovnic metody počátečních parametrů mají tvar:

Zde:
θ_z — úhlové posunutí (úhel sklonu) uvažovaného úseku;
y_z — svislé lineární posunutí (průhyb) uvažovaného úseku nosníku;
z – vzdálenost od vybraného počátku nosníku k uvažovanému řezu (souřadnici);
θA — úhlové a lineární posuny paprsku ve zvoleném počátku souřadnic (počáteční parametry);
E – modul pružnosti prvního druhu pro materiál nosníku;
I_x – osový moment setrvačnosti části nosníku;
m, F, q – momenty, soustředěné síly a rozložené zatížení působící na nosník (včetně podporových reakcí a kompenzačního rozloženého zatížení);
a, b – vzdálenost od počátku souřadnic k odpovídajícím momentům m a silám F;
c je vzdálenost od počátku k průřezu nosníku, kde začíná působení rozloženého zatížení q.

Pro daný nosník sestavíme MNP rovnice

Počátek souřadnic bereme v pravé části paprsku, protože je umístěn na podpěře.

Rozložené zatížení nedosahuje na konec nosníku, takže jeho působení prodloužíme a při stejné délce přidáme vyrovnávací zatížení stejné intenzity, ale v opačném směru.

Zapišme zatížení do rovnic MNP postupně po částech s přihlédnutím ke znaménkům

K určení počátečních parametrů θ a y Zapišme si okrajové podmínky.

U podpor jsou průhyby nosníku nulové, tzn.

Z druhé okrajové podmínky pomocí rovnice průhybu pro bod B určíme úhel natočení řezu v počátku souřadnic θ.

Pro sestrojení přímky zakřivené osy nosníku určíme úhly sklonu úseků nosníku na podpěrách θ_B, XNUMX_K a průhyby v charakteristických řezech y_AA_CA_D.

Úhly natočení sekcí na podpěrách

Dále pro stručnost zmenšíme zlomek před závorkou

Lineární posuvy (průhyby) charakteristických průřezů nosníku
Průhyb sekce A (y_z při z=3,6 m)

Průhyb sekce C (y_z při z=1,8 m)

Průhyb sekce D (y_z při z=0,6 m)

Výpočet maximálních průhybů nosníku

Extrémy průhybů nosníku budou v bodech, kde je úhel sklonu úseku nosníku nulový.

Abychom je určili, vynulujeme rovnice úhlů sklonu řezů pro každý úsek nosníku, ze kterých určíme souřadnice z extrémů průhybů v řezu (pokud existují).
1 pozemek (KD).

Rovnice nemá řešení (tj. v řezu nejsou žádné extrémy), to znamená, že maximální průhyb v tomto řezu bude na jeho levém okraji (v řezu D), protože pravý bod řezu je umístěn na podpěře.

To znamená, že extrém průhybů ve druhém úseku bude ve vzdálenosti z₂=0,782 m od počátku.

Extrém průhybů ve třetím úseku v úseku ve vzdálenosti z₃=2,269 m od počátku.

Tato rovnice řešení také nemá maximální průhyb na konci konzoly, protože na pravém okraji sekce je podpěra.

Hodnoty maximálních výchylek paprsku ve druhém a třetím úseku jsou určeny z odpovídajících rovnic výchylky pro zjištěné hodnoty z.

Na základě získaných dat sestrojíme přímku zakřivené osy nosníku v souladu s diagramem ohybových momentů M_x a indikující úhly natočení sekcí na podpěrách.

Kontrola tuhosti nosníku

Zkontrolujeme tuhost nosníku a porovnáme absolutní hodnoty maximálních průhybů y_max v rozpětí a na konzolové části s přípustným [f].

Nosník je považován za tuhý, pokud průhyby jeho úseků nepřekračují přípustné hodnoty, tzn.

Vypočítejme absolutní hodnoty přípustných průhybů daného nosníku:
v letu

Na konzolové části

Pro kontrolu tuhosti porovnáme dříve vypočítané maximální průhyby průřezů nosníku s odpovídajícími přípustnými hodnotami.

Jak vidíte, maximální průhyb na konci konzolové části nosníku překračuje odpovídající přípustnou hodnotu, nosník proto nesplňuje zadanou podmínku tuhosti.

Tuhost nosníku lze zvýšit na požadovanou hodnotu zvýšením momentu setrvačnosti jeho řezu, tzn. výběr větší části.

Vybereme I nosník jiného čísla, který zajistí potřebnou tuhost nosníku.

Určujeme, kolikrát je nutné snížit maximální posunutí úseku.

Poté vypočítaný moment setrvačnosti nového úseku nosníku

Dle sortimentu vybíráme I nosník č. 20 s osovým momentem setrvačnosti řezu I._xu1840d 4 cm XNUMX.

Nejprve je třeba přepočítat úhel sklonu části nosníku v počátku.

Vypočítáme průhyb řezu A s novou velikostí řezu

Podmínka tuhosti je splněna.

I-nosník č. 20 tedy poskytuje potřebnou pevnost a tuhost daného nosníku.
Byl dokončen kompletní výpočet daného nosníku na pevnost a tuhost.